Topological Ordering 介紹

Directed Acyclic Graph (DAG) 介紹

不同於 Tree 的無方向、無環，DAG 則是有方向、無環。DAG 特性是不斷地前進，有時分流、有時合流，日常常見的 DAG 為族譜、水流以及課程擋修規則。

實作

• Topological Ordering

  拿課程擋修規則為例，有必須先修的課程及後修的課程，將其完整排列出來視為 Topological Ordering。

      // 課程 1 須先修 : None
      // 課程 2 須先修 : 課程 1
      // 課程 3 須先修 : 課程 1, 課程 2
      // 課程 4 須先修 : None
      // 
      // Gragh:
      // 課程 1 -> 課程 2
      //        ↘   ↓
      // 課程 4    課程 3
      //
      // Topological Ordering:
      //  1) 1 2 3 4
      //  2) 4 1 2 3
      //  3) 1 4 2 3
      //  4) 1 2 4 3
      // 兩個都行，只要順序符合規則就好 (按這個例子，課程 4 的排序位置無關緊要)
  

• Topological Sort ( Kahn's Algorithm  )

  排序時，首先要找到第一個點 (課程 1 或課程 4)。第一個點有一個特別之處，就是沒有人指向他。找出來該第一點後，把其指向的連接也跟著去掉。使下一次課程 2 變為第一個點。以此排序。

      // Gragh:
      //         課程 2
      //           ↓
      // 課程 4   課程 3
  

• Code

  題目之範例解答

      bool canFinish (int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
  
          // Kahn's Algorithm
          // http://web.ntnu.edu.tw/~algo/DirectedAcyclicGraph.html
  
          // adj 紀錄 node 連出去的所有 nodes
          // ref 紀錄 node 被連的次數
          vector<vector<int>> adj(numCourses, vector<int>());
          vector<int> ref(numCourses, 0);
  
          // init
          for (auto&v : prerequisites) {
              ++ref[v[0]];
              adj[v[1]].push_back(v[0]);
          }
  
          // Every loop 都可以找到一個 first node, 需要找出 numCourses 個
          for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
  
              // 一定有 node 的被連的次數為 0, 是為 first node
              // 若所有 node 被連次數都 > 0, 代表有 cycle
              int head = 0;
              while (head < numCourses && ref[head] != 0) ++head;
              if (head == numCourses) return false;
  
              // 找過的 first node 要刪除, 設為 -1
              // 把這次的 first node 所連出去 nodes 的 被連次數(ref) 減一
              ref[head] = -1;
              for (auto & n : adj[head]) --ref[n];
          }
  
          return true;
      }
  

參考資料 :

1.leetcode-problem-course-schedule

2.http://web.ntnu.edu.tw/~algo/DirectedAcyclicGraph.html